Решение Задач По Планиметрии
Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения. С помощью этого пособия можно. Скачать бесплатно pdf, djvu и купить бумажную книгу: Задачи по планиметрии. Автор: Прасолов В.В.
Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.) Среди этих задач есть как прямые, так и обратные. Прямыми мы здесь называем задачи, в которых по данным элементам фигуры нужно найти её площадь. Обратными - в которых площадь известна и, наоборот, нужно найти какой-либо из элементов фигуры. Простейшие примеры таких задач.
Решение Способ I. Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой S = d 2/2. Следовательно S = 1 2/2 = 0,5. Обозначим сторону квадрата символом. Тогда его площадь S = a 2, a диагональ d = a √2.
(Это либо помним наизусть, как формулу из учебника, либо находим по теореме Пифагора: d 2 = a 2 + a 2.) Подставляем известные значения и находим неизвестные с помощью алгебраических преобразований: d = 1 (по условию), следовательно 1 = a √2. Отсюда a = 1/ √2 и S = (1/ √2 ) 2 = 1/2 = 0,5.
Ответ: 0,5 Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ можно посмотреть. Решение Способ I. Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой S = d 2/2.
Подставим в эту формулу известную величину площади ( S = 2), тогда 2 = d 2/2 или d 2/2 = 2, d 2 = 4, d = 2. Обозначим сторону квадрата символом. Тогда его площадь S = a 2, a диагональ d = a √2. Подставляем известные значения и находим неизвестные с помощью алгебраических преобразований: S = 2 (по условию), следовательно 2 = a 2. Отсюда a = √2 и d = √2 √2 = 2.
Решение Задач По Стереометрии Координатным Методом
Ответ: 2 Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ можно посмотреть. Решая эти пары задач, вы могли заметить, что разница между ними только в порядке использования формул при алгебраических преобразованиях. (Мы, обычно, используем формулы, двигаясь от известного к неизвестному.) Дополнительных знаний геометрии здесь не требуется.
Поэтому не бойтесь обратных задач так же, как и любых других с неожиданной формулировкой условия. Если вам знаком сам геометрический объект и его элементы: квадрат, диагональ., то с заданием вы справитесь. Только необходимо убедиться, что среди понятий, перечисленных ниже, действительно нет незнакомых: четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Треугольники: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Отрезки: сторона, высота, основание, диагональ, катеты, гипотенуза, средняя линия, диаметр, радиус, хорда.
Решение Задач По Планиметрии
Характеристики: подобные фигуры, периметр, градус, радиан. Чтобы сделать такую проверку быстро, пройдите мои Если вдруг найдутся доселе неизвестные вам понятия - срочно открывайте учебник геометрии, а еще лучше справочник по математике с алфавитным указателем. А затем ещё раз проверьте себя: Окружность и круг одно и то же или нет? Что больше площадь кругового сектора или площадь кругового сегмента, если длины их дуг равны? Решение Обозначим стороны прямоугольника символами a и b.
Тогда его площадь S = ab, периметр P = a + b + a + b = 18, отношение сторон a: b = 1: 2 или a/b = 1/2. Из двух последних равенств найдем a и b. (Например, можно записать и решить их как систему уравнений.) a/b = 1/2, значит b = 2 a. Тогда P = 2 a + 2 b = 2 a + 4 a = 6 a = 18, a = 3, b = 6. Площадь S = 3×6 = 18. Ответ: 18 Задачи на площадь прямоугольника относятся к самым простым, но всё-таки иногда их трудно решить без чертежа. При наличии в Вашем браузере плагина для Flash решения следующих 2-ух задач можно посмотреть с привлечением интерактивных анимаций.
Для этого перейдите на страницу Дождитесь загрузки и пользуйтесь внутренней кнопкой для пошагового просмотра. Не забудьте вернуться и продолжить решение задач с другими фигурами. 1) Вводим обозначения: a и b - длины сторон, d - диагональ, P - периметр, S - площадь. 2) Записываем данные и искомые величины в этих обозначениях: - по определению периметра: P = a + b + a + b = 2 a + 2 b = 28; - по теореме Пифагора выражаем диагональ прямоугольника через его стороны: d 2 = a 2 + b 2, т.е. A 2 + b 2 = 10 2 = 100; - по формуле площади S = ab =?
3) Получаем систему уравнений относительно a и b: 4) Решаем систему: Так как нам не требуется находить отдельно каждую сторону прямоугольника, а нужна его площадь, то получив численное значение для произведения сторон ab, можем остановиться. 1) Введём обозначения: a и b - длины сторон, d - длина диагонали, S - площадь прямоугольника. 2) Выразим диагональ через длину стороны: a: d = 4: 5; 5 a = 4 d; d = (5/4) a. (Использовали.) 3) По теореме Пифагора для диагонали прямоугольника: a 2 + b 2 = d 2; a 2 + b 2 = (5/4) 2 a 2.
Из этого уравнения найдём неизвестную сторону a (через данную сторону b). B 2 = (5/4) 2 a 2 − a 2 = (25/16 − 1) a 2 = (9/16) a 2. Таким образом, b = (3/4) a, следовательно a = (4/3) b = (4/3)6 = 8. По формуле площади прямоугольника S = ab = 68 = 48. Решение Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженной на синус угла между ними. S = ( bc/2)sin α.
Подставим в формулу известные величины: 36 = (6×24/2)sin α. Получим 36 = 72sin α или 72sin α = 36, sin α = 1/2, α = 30°. Ответ: 30 Замечание: Угол по значению его синуса можно находить по таблицам, по графику, по кругу. Но предполагается, что значения таких простых углов вы так часто использовали на уроке, что уже запомнили наизусть. И обратите внимание, в условии сказано, что треугольник остроугольный. Это подсказка - угол находится в первой четверти. Тема 'решение задач на формулы площади плоских фигур' неисчерпаема.
Вы должны знать несколько формул для площади треугольника, формулы площадей четырехугольников (параллелограмма, трапеции, ромба), круга и кругового сектора, правильного многоугольника. Прототипов таких задач в банке заданий, пожалуй, больше, чем в других группах. К сожалению, нереально поместить все в пределах одной страницы сайта. Постараюсь дополнять по мере занятий с учениками. Следите за обновлениями. Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.
Эта группа задач следующего типа: дано изображение геометрической фигуры на клетчатой бумаге, требуется найти площадь этой фигуры. В связи с тем, что в этом разделе предполагается много рисунков, то большинство задач вынесено на flash-страницу сайта. Ссылка расположена ниже. Сейчас мы обсудим главное - эту задачу может решить любой школьник, независимо от того, насколько хорошо он усвоил курс геометрии. Навыки, необходимые для решения этой задачи, вы начали приобретать еще в детском саду, когда впервые взяли в руки ножницы и бумагу. Вопрос только в том, насколько эффективно вы сможете распорядиться своим экзаменационным временем.
Для доказательства этого положения, я беру одну и ту же задачу и решу её несколько раз. Задача 12 Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Посмотрите на рисунок, там указан масштаб. Видно, что размер одной клетки равен 1 см (это же сказано и в условии), соответственно, площадь одной клетки равна 1 см 2. Поэтому требование дать ответ в квадратных сантиметрах равносильно требованию дать ответ в клеточках. Первое решение рассмотрим в предположении, что вы хорошо знаете формулы и определения.
Чтобы мне было легче объяснять его, я обозначу буквами A, B, C, D вершины заданного четырёхугольника. ABCD - трапеция, т.е. Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. На рисунке параллельны стороны ВС и AD, они проходят по вертикальным линиям сетки, значит они являются основаниями трапеции. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту (обозначим её - h).
7 425 — 3 — 91 798 12 700 На этой странице вы сможете прослушать и бесплатно скачать песню Людвиг ван Бетховен - Реквием по мечте в mp3.. 6 70 — 2 — 33 808 26 300 ludwig van beethoven обои, книга картинки, здание фото, шрифт, освещение. Ludvig van bethoveen шрифт. Автор: Людвиг ван Бетховен. 5 30 — 3 — 4 357 1 000 Декоративный рукописный наклонный русский шрифт Ludvig van Bethoveen содержит русские и латинские части, есть цифры, есть знаки препинания.
Длину оснований определяем простым подсчётом клеточек на рисунке. ВС = 2, AD = 4.
Как определить h? Вспомним, что высота трапеции это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания. Обычно, для определения этого расстояния, нужно из какой-либо вершины трапеции опустить перпендикуляр на противолежащую параллельную прямую, но здесь у нас такие перпендикуляры уже есть - это горизонтальные линии сетки.
Возьмем, например, линию, на которой находятся точки А и С, на ней укладывается ровно 4 клеточки. Следовательно h = 4.
Подставляем значения в формулу: S = h( BC + AD)/2 = 4(2 + 4)/2 = 12. Ответ: 12 Второе решение относится к случаю, когда вы уверенно помните только самые простые формулы площади: площадь прямоугольника S = a, где a и стороны, и площадь прямоугольного треугольника S = a /2, где a и катеты. Суть метода заключается в том, что нам нужно разбить заданную фигуру на эти простые части по линиям сетки. Проводим дополнительную линию AC, которая 'разрезает' нашу трапецию на два прямоугольных треугольника. Первый с катетами AC = 4 и BC = 2, его площадь S 1 = 4×2/2 = 4. Второй с катетами AC = 4 и AD = 4, его площадь S 2 = 4×4/2 = 8.
(Длины сторон мы также определили прямым подсчётом клеточек.) Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ACB и DAC. S = S 1 + S 2 = 4 + 8 = 12. Ответ: 12 Третий способ требует тех же самых знаний, что и второй, только немножко иного взгляда на картинку. Теперь мы будем не 'разрезать' нашу трапецию на части, а 'вырезать' её из прямоугольника, стороны которого проходят по линиям сетки через вершины заданной трапеции. Проводим горизонтальные линии через вершины В и D, продолжаем вертикальные линии AD и ВС до пересечения с горизонтальными.
Точки пересечения обозначим символами E и F. Получили прямоугольник DEBF со сторонами DE = 6 и DF = 4, его площадь 6×4 = 24. Чтобы получить искомую площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади (зелёных) треугольников AEB и DFC. S AEB = AEEB/2 = 24/2 = 4 и S DFC = DFFC/2 = 44/2 = 8 Следовательно, площадь трапеции равна S = 24 − 4 − 8 = 12.
Ответ: 12 И, наконец, последний, четвертый способ нужен на случай, когда вы вообще не знаете никаких формул, но обладаете хорошим воображением. Способ сродни решению головоломки - как разрезать плоскую фигуру на части, чтобы из этих частей, используя каждую из них одинаковое число раз, сложить прямоугольник? Затем, просто посчитать количество клеточек внутри прямоугольника, и разделить на число повторов деталей заданной фигуры. Смотрите, пример. Проводим дополнительную линию AC и 'разрезаем' трапецию на две части, как в решении вторым способом.
Проводим дополнительные линии и строим вершины E и F, как в решении третьим способом. Убеждаемся в том, что получившиеся зеленые и желтые треугольники попарно равны (подсчетом клеточек на соответствующих сторонах).
Значит, для построения прямоугольника детали заданной фигуры использованы 2 раза, один комплект желтый, второй - зеленый. Считаем общее количество клеточек в закрашенном прямоугольнике. Получается 24. Ответ: 12 Комментарии к выбору способа решения. 1) Из-за разнообразия фигур, которые могут встретится в задании, нельзя рекомендовать однозначно лучший.
2) Большинство задач можно решить любым из этих способов. Выберите наиболее понравившийся лично вам, и потренируйте его на разных задачах. 3) Первый способ, опирающийся на знание формул, бывает необходим, когда в задании присутствует круг или его часть.
Круг нельзя разрезать на прямоугольники, и треугольники. Нужно на чертеже найти центр круга и линию сетки, которая касается окружности, определить по клеточкам радиус и подставить в формулу. 4) Второй и третий способ нужны, если многоугольник, площадь которого требуется вычислить, не стандартный: не трапеция, не ромб, не параллелограмм., т.е. Если таких формул вы не учили.
При этом второй способ лучше, когда у многоугольника есть стороны, лежащие на линиях сетки, а третий - когда нет. 5) Четвертый способ хорош тем, что начав его тренировать, вы быстро научитесь находить ответ раньше, чем дойдете до пересчета клеточек в прямоугольнике. Карта стран карибского бассейна.
(Предложение делать это - почти шутка.) Этот способ решения фактически комбинация второго и третьего. 6) И главное, что касается всех способов, следите за тем, чтобы вершины всех ваших фигур и их частей находились в узлах сетки.
Комментарии к задаче. Текстовая часть постановки задач на эту тему практически не изменялась с момента её появления в банке заданий ЕГЭ. Она почти всегда такова: 'Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в см 2.' От варианта к варианту могут изменяться вид фигуры, единица измерения длины, например, сантиметр на метр, вводные слова, например, в демоверсии базового уровня есть обоснование практической значимости 'План местности разбит на клетки.
Найдите площадь участка, изображенного на плане.' Но давайте сравним чертежи, которыми сопровождаются эти задачи. С одной стороны, явно прослеживалась тенденция к усложнению задания для профильного уровня и упрощению для базового, с другой стороны, эти различия были очень незначительны с точки зрения необходимых математических навыков.
Если посмотреть то по сравнению с предыдущими годами для обоих уровней более востребованным станет способ решения, опирающийся на знание формул площадей геометрических фигур. Но никто и ничто не мешает Вам аккуратно продолжить линии сетки за пределы заштрихованной фигуры и получить основу для выбора предпочтительного способа решения. Разница только во времени, которое будет затрачено на выполнение этого задания. В любом случае помните - ЕГЭ по математике не проверяет ваш глазомер! Поэтому ни для каких расчётов не используйте отрезков, начало или конец которых не связаны с узлами сетки. Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.
Чем отличаются задачи этого типа от предыдущих? Почти ни чем.
Координатная плоскость - та же самая сетка. Только линии этой сетки пронумеровали, а затем стерли, а на фигуре написали на каких линиях были расположены её вершины. Еще в 17-ом веке. Чтобы как-то, хотя бы условно, изображать большие и несоразмерные фигуры, которые не помещаются на рисунке в нормальном масштабе.
Из этих соображений, следуют два способа решения задач: Первый, самый надежный, - выучить понятия и формулы из раздела 'Декартовы координаты на плоскости и в пространстве'. Второй, самый простой для тех, кто разобрался с предыдущей задачей, - восстановить сетку. Решение вторым способом более очевидное.
Теоретически так можно решать любую задачу на координатную плоскость, но это может оказаться значительно медленнее, чем первым способом, и потребовать 'немеряного количества' бумаги. (Иначе не надо было бы изобретать координаты.) Поэтому здесь мы рассмотрим те задачи, для которых решение восстановлением сетки достаточно быстрое и компактное, а затем еще раз вернемся к понятию координатной плоскости в следующем разделе. Оси координат - это линии сетки, с которых начинается нумерация. Ось Ox - нулевая горизонтальная линия, ось Oy - нулевая вертикальная линия. Запись 'координаты (3, 2)' означает, что точка находится на 3-ей вертикальной линии сетки и на второй горизонтальной, аналогично 'координаты (7, 6)' - на 7-ой вертикальной и 6-ой горизонтальной, и т.
Моды на farming simulator 2013 с автоматической установкой. Лучшие моды для игры Farming Simulator 2013. Современные трактора, машины, комбайны и другая техника, которая сделает игру еще более.
Рисуем нужное количество линий на заданном чертеже. Результат на рисунке слева. Видно, что этот рисунок очень похож на рисунок к условию предыдущей задачи.
А, если не обращать внимания на оси, то абсолютно тот же (это потому, что для примера я специально выбрала задачу с той же самой трапецией). Значит решать можно любым из представленных выше четырёх способов. Например, разбиваем трапецию на два прямоугольных треугольника и вычисляем: S 1 = 4×2/2 = 4. S 2 = 4×4/2 = 8. S = S 1 + S 2 = 4 + 8 = 12. Ответ: 12 Следующую задачу постарайтесь сначала решить самостоятельно, а затем проверьте своё решение.
Решение На рисунке в условии задачи пунктиром показаны отрезки линий сетки, которые проходят через вершины четырёхугольника (здесь это 2-я, 4-я, 6-я и 8-я линии как по вертикали, так и по горизонтали). Дорисовываем весь участок сетки в окрестности заданной фигуры. Решаем задачу так, как если бы она была задана на клеточках, без координатных осей. У нашего четырёхугольника нет сторон, лежащих на линиях сетки, поэтому выберем третий метод из предыдущего раздела - метод 'вырезания'.
Строим внешний прямоугольник, стороны которого проходят по сетке через вершины заданного. Прямым подсчетом клеточек убеждаемся в том, что красная линия на чертеже ограничивает квадрат со стороной 6 единиц, значит его площадь равна S кв = 36 ед. 2, а четыре зеленых прямоугольных треугольника равны между собой и имеют катеты 2 ед. И 4 ед., площадь каждого из них равна 2×4/2 = 4. Следовательно, искомая площадь желтого четырехугольника равна S = 36 − 4×4 = 20. Ответ: 20 Замечания: 1) По рисунку видно, и равенством зеленых треугольников подтверждается, что заданный четырёхугольник тоже квадрат. Но нам здесь это даже не потребовалось.
2) В качестве упражнения на развитие воображения попробуйте найти эту площадь вторым методом из предыдущего раздела - методом разрезания желтого квадрата по линиям сетки на простые части.